逆z变换

所谓逆z变换,是已知z变换表达式f(z),求相应离散序列f(kt)的过程。常用的逆z变换法有如下三种:部分分式展开法;幂级数展开法(长除法);留数计算法。
1. 部分分式展开法
部分分式展开法又称查表法,其基本思想是根据已知的f(z),通过查z变换表找出相应的f(kt)。然而z变换表的内容有限,需要把f(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似,分为特征方程无重根和有重根两种情况。
(1) 特征方程无重根的情况
设已知的z变换函数f(z)无重极点,先求出f(z)的极点,再将f(z)/z展开成如下分式之和
 (1)
其中a0和ai为f(z)/z在zi处的留数,即,再由上式写出f(z)的部分分式之和
 (2)
然后逐项查z变换表,得到
(3)
最后写出已知f(z)对应的采样函数
 (4)
〖例1〗 求的反变换。
解:由于
故有

(2) 特征方程有重根的情况
这里用一个例子描述z变换函数f(z)有重极点的求解步骤。
〖例2〗 求的反变换。
解:f(z)的特征方程为,所以特征方程有两重根。

其中a,b为
所以有
由于在表中查不到上式第一项的逆z变换,故将上式两边都乘z-1
由于
(所以有,这是理解平移定理的一种方法,成对对应法)
故有

2. 幂级数展开法(长除法)
当z变换不能写成简单形式,或者逆z变换需要以数值序列f(kt)表示时,可以采用幂级数展开法。
由z变换的定义
(5)
可以看出序列f(kt)值是上述幂级数中z-k的系数,对于用有理函数表示的z变换,可以直接用分母去除分子,得到幂级数的展开形式,如果级数是收敛的,则级数中z-k的系数就是f(kt)的值。在用长除法求系数时,f(z)的分子和分母都必须写成z-1的升幂形式。
〖例3.6〗 求下式的逆z变换
解:
长除格式
由长除结果得

3. 留数计算法
实际遇到的z变换式f(z),除了有理分式外,也可能有超越函数,此时用留数法求逆z变换比较合适。当然,这种方法对有理分式也适用。
设已知z变换函数f(z),则可证明f(z)的逆z变换f(kt)值,可由下式计算
(6)
式中是积分的闭合回线,它应包围的所有极点。设共有等m个极点,则根据柯西留数定理,上式也可写为
 (7)
即f(kt)等于的全部极点的留数之和。
〖例3 〗设z变换函数
试用留数法解其逆z变换。
解:因该函数有两个极点:1和0.5,先求出对这两个极点的留数